\(y'=\dfrac{x-m-x+1}{\left(x-m\right)^2}=\dfrac{1-m}{\left(x-m\right)^2}\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;2\right)\Leftrightarrow y'< 0\forall x\in\left(-\infty;2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m< 0\\x\ne m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m\ge2\end{matrix}\right.\Rightarrow m\ge2\)

Có 19-2+1=18 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Chọn C

\(y'=x^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-1\right)\)

Hàm đồng biến trên khoảng đã cho khi với mọi \(x>1\) ta luôn có:

\(g\left(x\right)=x^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\min\limits_{x>1}g\left(x\right)\ge0\)

Do \(a=1>0;-\dfrac{b}{2a}=m-1\)

TH1: \(m-1\ge1\Rightarrow m\ge2\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)_{min}=f\left(m-1\right)=\left(m-1\right)^2-2\left(m-1\right)^2+3\left(m-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(m-1\right)\left(4-m\right)\ge0\Rightarrow1\le m\le4\Rightarrow2\le m\le4\)

TH2: \(m-1< 1\Rightarrow m< 2\Rightarrow g\left(x\right)_{min}=g\left(1\right)=m\ge0\)

Vậy \(0\le m\le4\)

Đáp án B.

Phương pháp: 

Hàm số y = f x  nghịch biến trên khoảng a ; b ⇔ f ' x ≤ 0 , ∀ x ∈ a ; b ,  bằng 0 tại hữu hạn điểm trên a ; b .  

Cách giải:

y = x 3 − 3 m + 2 x 2 + 3 m 2 + 4 m x + 1 ⇒ y ' = 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m  

Hàm số

y = x 3 − 3 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m x + 1

nghịch biến trên khoảng 0 ; 1 ⇔ f ' x ≤ 0 ,   ∀ x ∈ 0 ; 1 ,  bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0; 1).

⇔ 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m ≤ 0 ,    ∀ x ∈ 0 ; 1 ,

bằng 0 tại hữu hạn điểm trên (0;1).

Xét phương trình

⇔ 3 x 2 − 6 m + 2 x + 3 m 2 + 4 m = 0    *

  Δ ' = 9 m + 2 2 − 3.3 m 2 + 4 m = 36 > 0 ,    ∀ m ⇒

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt  x 1 , x 2

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) thì x 1 ≤ 0 < 1 ≤ x 2  

⇔ x 1 x 2 ≤ 0 1 − x 1 1 − x 2 ≤ 0 ⇔ x 1 x 2 ≤ 0 1 + x 1 x 2 − x 1 + x 2 ≤ 0 ⇔ m 2 + 4 m ≤ 0 1 + m 2 + 4 m − 2 m − 4 ≤ 0  

⇔ − 4 ≤ m ≤ 0 − 3 ≤ m ≤ 1 ⇔ − 3 ≤ m ≤ 0

Mà m ∈ Z ⇒ m ∈ − 3 ; − 2 ; − 1 ; 0 ⇒

Có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn. 

Khi đó y' là hàm số bậc ba. Phương trình y'=0 có ít nhất một nghiệm đơn hoặc bội lẻ và đổi dấu  qua nghiệm đó. Do đó mệnh đề (*) sai.  Suy ra loại  m 2   -   3 m     +   2   ≠ 0

Chọn A

\(y'=3x^2+m+\dfrac{1}{x^6}\ge0\) ; \(\forall x>0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+\dfrac{1}{x^6}\ge-m\)

\(\Leftrightarrow-m\le\min\limits_{x>0}\left(3x^2+\dfrac{1}{x^6}\right)\)

Ta có: \(3x^2+\dfrac{1}{x^6}=x^2+x^2+x^2+\dfrac{1}{x^6}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{x^6}{x^6}}=4\)

\(\Rightarrow-m\le4\Rightarrow m\ge-4\)

Chọn B

Phương pháp: Sử dụng đạo hàm của hàm hợp để tính đạo hàm.